Nikoguru

Máximo Divisor Comum (mdc)

  • por em 24 de abril de 2021

O máximo divisor comum (mdc) entre dois ou mais números inteiro é o maior divisor inteiro comum entre eles.

Por exemplo, o mdc de 6 e 12 é:

D (6) = {1,2,3,6}
D (12) = {1,2,3,4,6,12}

Temos os divisores comuns 1,2,3 e 6
Logo o maior destes divisores comuns (mdc) é 6 . Representa-se mdc (6,12) = 6

Podemos calcular o mdc fazendo inicialmente a decomposição em fatores primos:

6 = 2 x 3
12 = 2² x 3

Em seguida, calcula o produto apenas dos fatores comuns, considerando o menor expoente.

Logo, o mdc (6,12) = 2 x 3 = 6

Outra forma de se calcular o mdc é fazendo a decomposição simultânea. Esse procedimento deve ser repetido com o próximo número primo que divida os todos os quocientes e, assim, sucessivamente, até que não hajam mais primos comuns. Vejam os exemplos

1. mdc (6,12)

6 12 | 2
3 6 | 3
1 2

mdc (6,12) = 2 x 3 = 6

2. mdc (30,40,102)

30 40 102 | 2
15 20 51 |

mdc (30,40,102) = 2

Importante: Números primos entre si ou primos relativos são os números inteiros que o mdc entre eles é 1. É o caso de 5 e 51. Como mdc (5, 51) = 1, então 5 e 51 são primos entre si.

Propriedades do mdc

Se um dos números do mdc for divisor dos outros, ele será o mdc. No nosso exemplo anterior o mdc (6,12): o número 6 será o resultado, pois ele é divisor de 12. Exemplo mdc (5,25,100) será igual a 5.

Dois números consecutivos são sempre primos entre si. Por exemplo mdc (6,7) = 1.

Como o mdc aparece nas provas

(ENEM 2015) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1080 cm, todas da mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.

Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir

a) 105 peças.
b) 120 peças.
c) 210 peças.
d) 243 peças.
e) 420 peças.

Resolução

Letra E – 420 peças. Primeiro resolva o mdc (540, 810,1080) que será igual a 270.

540 810 1080 | 2
270 405 540 | 3
90 135 180 | 3
30 45 60 | 3
10 15 20 | 5
2 3 4

mdc (540, 810, 1080) = 2 x 3³ x 5 = 2 x 27 x 5 = 270

Logo, o comprimento de cada peça deverá ser divisor de 270 cm. Como o comprimento deve ser menor 2 metros, cada peça terá 135 cm. Portanto, a quantidade de peças obtidas é de: (40 . 540 + 30 . 810 + 10 . 1080) / 135 = 420 peças.

** Este texto não reflete, necessariamente, a opinião do Portal UAI.

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